Fondamenti della meccanica atomica
Così una coppia di soluzioni indipendenti, ortogonali e normalizzate si ha (per n ≠ O) prendendo nella (22)
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Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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dove è la distanza di F dal piano xy. Così le coordinate x ed y restano determinate con un' incertezza dell' ordine di grandezza di r:
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e diventa così identica alla formula che vale per i fotoni.
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e così si ottiene
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Calcolata così la , la ci dà la P(x) al tempo t: per scrivere in forma semplice il quadrato del modulo dell'espressione (171), conviene introdurre la
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La così normalizzata gode la proprietà, conseguenza di (231) e (244), che
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Così, affinchè sia anche normalizzata (rispetto alla variabile x), basterà prendere per essa l'espressione
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è utile rilevare che la costante così definita è uguale al raggio della prima delle orbite circolari fornite dalla teoria di Bohr ( [numero eliminato
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che si può esprimere così: le funzioni costituiscono un sistema ortogonale e normalizzato nell'intervallo da 0 a .
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A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
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Da ciascuna delle due Y cosi trovate si otterrà, mediante la (293), un integrale (approssimato) della (291), e quindi un integrale qualsiasi di
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Si trovano cosi i livelli energetici, in accordo, come si vedrà, generalmente buono e talvolta ottimo, con quelli sperimentali.
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i simboli ecc.: così pure i simboli di derivata seconda, terza, ecc.
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Esempi. Due fattori numerici (costanti o no) sono sempre operatori permutabili, perchè . Così pure sono permutabili — di regola — gli o. l. , il cui
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Ad ogni o. l. corrisponde così una matrice, che lo individua perfettamente, e che si indica generalmente con lo stesso simbolo dell'operatore: spesso
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Dalla (23) risulta subito che la matrice somma, così definita, è effettivamente la matrice corrispondente all'operatore .
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il che prova che è anche un'autofunzione di (e precisamente appartenente all'autovalore ). Resta così provato che le costituiscono un sistema
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cioè a : si ritrova così la condizione di ortogonalità e normalizzazione introdotta al § 10 p. II.
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Risulta poi evidente che la osservabile F così definita è compatibile con ciascuna delle osservabili date X, Y, Z...
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così la (87) diviene
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Riassumendo, il principio generale della meccanica quantistica si può enunciare così. Una volta determinato, o mediante la regola data sopra o
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resta così dimostrata la (110).
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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Così sono completamente determinate le matrici e .
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Così, dalla risoluzione dell'equazione secolare (186), si hanno, in prima approssimazione, le perturbazioni degli autovalori del multipletto.
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Così, in definitiva, la (207) si riduce a
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e si trova così il risultato (175). Per si ricava invece
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Determinata così la matrice di trasformazione , ricordiamo che i versori degli assi ruotati si ottengono da quelli degli assi primitivi mediante la
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Di qui si ricavano le c, moltiplicando i due membri per e integrando su tutto lo spazio delle q: si ottiene così
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Sostituendo poi le (228) nei secondi membri delle (222), e integrando fra 0 e t si otterrebbe facilmente la seconda approssimazione, e così per le
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L'operatore hamiltoniano così formato, permette poi di scrivere, nel modo solito, l'equazione per la , e cioè
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Così, in conclusione, la (277') diviene:
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Si trova così
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Così l'equazione diviene
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e così resta dimostrata la (330).
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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Per interpretare i due tipi di soluzione così trovati, ricordiamo (v. § 53) che il momento angolare totale rispetto all'asse z corrisponde
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a zero per , si dovrà scartare il segno +: si è così condotti a ricercare soluzioni della forma
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Infatti, la matrice S così definita ha la proprietà seguente :
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Le due sommatorie doppie si calcolano, per le varie coppie (j, l), utilizzando le (391) e la (389), e si trova così in definitiva per la matrice
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E1 ai livelli E3, E4 ecc. E ciò è in molti casi lecito, e cioè quando gli urti sono così frequenti che quasi tutti gli elettroni, appena hanno
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L'esperienza così disposta è analoga a quella di Laue per i raggi X (con la sola differenza che invece di osservare
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e si determina di nuovo la distribuzione: e così via, finchè si trova una tensione, per la quale si presenta un massimo in una determinata direzione
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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Se poi C contiene linearmente un parametro λ, come nella (8), sarà così anche di R, e l'equazione (12) avrà la forma
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(fattore di normalizzazione), perchè l'autofunzione così ottenuta soddisfi la (15).
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Accademia della crusca
